计算蘑菇形台灯的占用空间体积，并确定其在作者房间中所占百分比

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这份文档是国际文凭（IB）课程中**数学分析与方法（Mathematics: Analysis and Approaches）标准级别（SL）**的内部评估（Internal Assessment, IA）。以下是其主要内容的概述：

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主要内容概述引言与背景

• 主题：计算蘑菇形台灯的占用空间体积，并确定其在作者房间中所占百分比。
• 个人背景：
  • 作者于2019年底搬入新家，房间装饰稀疏。
  • 最近收到一个蘑菇形台灯作为圣诞礼物，激发了探索其占用空间的兴趣。
    
• 目的：
  • 使用数学建模和旋转体体积方法（disk method）计算台灯的占用空间。
  • 强调此体积并非实际体积（因台灯部分中空），而是房间中无法用于存放其他物品的空间。
    
  
  

方法与过程

• 数据生成：
  • 使用台灯照片，结合GeoGebra绘图计算器生成数据点。
  • 台灯尺寸参考用户手册：蘑菇头基部宽度 w=177 mm w = 177 \, \text{mm} w=177mm，高度 h=211 mm h = 211 \, \text{mm} h=211mm。
  • 将图像校准为1单位=1毫米，沿 x x x-轴以约0.5单位间隔（红色点为3.0单位）绘制点。
    
• 模型分区：
  • 将台灯分为六个部分（以颜色区分），并确定各部分函数的定义域（见表1）：
    • 蓝色：0≤x<46.680352 0 \leq x < 46.680352 0≤x<46.680352
    • 紫色：46.680352≤x<55.455028 46.680352 \leq x < 55.455028 46.680352≤x<55.455028
    • 黄色：55.455028≤x<61.478534 55.455028 \leq x < 61.478534 55.455028≤x<61.478534
    • 橙色：61.478534≤x<64.488910 61.478534 \leq x < 64.488910 61.478534≤x<64.488910
    • 红色：64.488910≤x<210.62436 64.488910 \leq x < 210.62436 64.488910≤x<210.62436
    • 灰色：210.62436≤x≤211 210.62436 \leq x \leq 211 210.62436≤x≤211
      
    
    
• 数学建模：
  • 紫色部分：
    • 使用二次多项式回归，最小二乘法推导函数：y=0.0631744069082x2−8.0454314127461x+268.2854028921 y = 0.0631744069082x^2 - 8.0454314127461x + 268.2854028921 y=0.0631744069082x2−8.0454314127461x+268.2854028921。
      
  • 蓝色部分：
    • 六次多项式（因凹性变化）：y=−0.0000000364578x6+0.000009631873x5−0.0008097924712x4+0.0326772764495x3−0.6176253624597x2+6.8731004623057x+2.9833601303314 y = -0.0000000364578x^6 + 0.000009631873x^5 - 0.0008097924712x^4 + 0.0326772764495x^3 - 0.6176253624597x^2 + 6.8731004623057x + 2.9833601303314 y=−0.0000000364578x6+0.000009631873x5−0.0008097924712x4+0.0326772764495x3−0.6176253624597x2+6.8731004623057x+2.9833601303314（R2=0.99907027 R^2 = 0.99907027 R2=0.99907027）。
      
  • 黄色部分：
    • 圆形模型，中心 (49.537505,−0.36669268)(49.537505, -0.36669268)(49.537505,−0.36669268)，半径 14.0243928168 14.0243928168 14.0243928168：y=196.68359−(x−49.537505)2−0.36669268 y = \sqrt{196.68359 - (x - 49.537505)^2} - 0.36669268 y=196.68359−(x−49.537505)2​−0.36669268。
      
  • 橙色部分：
    • 线性模型：y=−0.43655822x+33.827225 y = -0.43655822x + 33.827225 y=−0.43655822x+33.827225。
      
  • 红色部分：
    • 五次多项式：y=0.000000005721x5−0.0000008899206x4+0.0003144480744x3−0.0442978041043x2+2.9677234356075x−71.7783899153591 y = 0.000000005721x^5 - 0.0000008899206x^4 + 0.0003144480744x^3 - 0.0442978041043x^2 + 2.9677234356075x - 71.7783899153591 y=0.000000005721x5−0.0000008899206x4+0.0003144480744x3−0.0442978041043x2+2.9677234356075x−71.7783899153591（R2=0.99990533 R^2 = 0.99990533 R2=0.99990533）。
      
  • 灰色部分：
    • 水平直线：y=29.797776 y = 29.797776 y=29.797776。
      
    
    
• 体积计算（Disk Method）：
  • 使用公式 V=π∫ab[f(x)]2 dx V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx V=π∫ab​[f(x)]2dx：
    • 紫色：V≈14510.25 mm3 V \approx 14510.25 \, \text{mm}^3 V≈14510.25mm3
    • 蓝色：V≈573328.41 mm3 V \approx 573328.41 \, \text{mm}^3 V≈573328.41mm3
    • 黄色：V≈2011.82 mm3 V \approx 2011.82 \, \text{mm}^3 V≈2011.82mm3
    • 橙色：V≈380.45 mm3 V \approx 380.45 \, \text{mm}^3 V≈380.45mm3
    • 红色：V≈422233.78 mm3 V \approx 422233.78 \, \text{mm}^3 V≈422233.78mm3
    • 灰色：V=π(29.797776)2(211−210.62436)≈1047.83 mm3 V = \pi (29.797776)^2 (211 - 210.62436) \approx 1047.83 \, \text{mm}^3 V=π(29.797776)2(211−210.62436)≈1047.83mm3
      
  • 总占用空间：Vlamp=14510.25+573328.41+2011.82+380.45+422233.78+1047.83≈1,013,512.54 mm3=0.00101351254 m3 V_{\text{lamp}} = 14510.25 + 573328.41 + 2011.82 + 380.45 + 422233.78 + 1047.83 \approx 1,013,512.54 \, \text{mm}^3 = 0.00101351254 \, \text{m}^3 Vlamp​=14510.25+573328.41+2011.82+380.45+422233.78+1047.83≈1,013,512.54mm3=0.00101351254m3。
    
• 房间占比：
  • 房间体积：4.25 m×3.25 m×2.50 m=34.53125 m3 4.25 \, \text{m} \times 3.25 \, \text{m} \times 2.50 \, \text{m} = 34.53125 \, \text{m}^3 4.25m×3.25m×2.50m=34.53125m3。
  • 占比：0.0010135125434.53125×100%≈0.00294% \frac{0.00101351254}{34.53125} \times 100\% \approx 0.00294\% 34.531250.00101351254​×100%≈0.00294%。
    
  
  

结论与反思

• 成果：
  • 台灯占用空间约为 1,013,512.54 mm3 1,013,512.54 \, \text{mm}^3 1,013,512.54mm3，占房间 0.00294% 0.00294\% 0.00294%，表明房间仍有大量空间可个性化。
    
• 验证：
  • 与300,000 mm³木块比较，数值合理。
    
• 局限性：
  • 相机角度可能导致图像失真。
  • 假设径向对称，未验证。
  • 未考虑插头凹痕等细节（影响微小）。
    
• 改进建议：
  • 使用更高分辨率相机，从远处拍摄。
    
• 收获：
  • 加深了对技术工具（如GeoGebra）和数学精确性的理解。
    
  
  

参考文献

• 包括数学公式（Dawkins, 2018）、回归分析（Frost, n.d.）和矩阵计算（Stover & Weisstein, n.d.）等来源。
  

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科目确认

这份文档明确标注为数学分析与方法（Mathematics: Analysis and Approaches）SL的内部评估。依据包括：

• 标题：直接注明“MATHEMATICS ANALYSIS AND APPROACHES SL: INTERNAL ASSESSMENT”。
• 内容：使用多项式回归、圆方程和旋转体体积计算，符合SL课程的分析重点。
• 深度：数学方法实用且适中，未涉及HL所需的更复杂理论。
  

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总结

这份IA通过数学建模计算台灯占用空间，展示了作者将多项式回归和微积分应用于实际问题的能力。核心内容包括数据生成、函数建模、体积计算及房间占比分析，体现了数学分析的实用性与精确性。

文档链接地址：

https://www.studyokk.com/doc-view-2307html