该文档是一份关于进一步复数相关知识的练习题集，主要涵盖复数的几何表示、不同形式、多项式的复根、棣莫弗定理以及复数根等内容，题目分为中等、困难和非常困难三个难度级别，共32道题，总计262分。以下是按题目难度分类的详细总结： ### 中等难度题目（11道，共90分） 1. **复数的基本运算与形式转换** - 已知\(z_1 = 2 + 2\sqrt{3}i\)，\(z_2 = 2 + 2i\)，计算\(w=\frac{z_1}{z_2}\)并转换为\(a + bi\)和\(re^{i\theta}\)形式，同时将\(z_1\)、\(z_2\)也写成\(re^{i\theta}\)形式。 - 给定\(z_1 = 6cis(\frac{\pi}{6})\)和\(z_2 = 3\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4})}\)，计算\(z_1z_2\)和\(\frac{z_1}{z_2}\)（结果用\(rcis\theta\)表示），并将\(z_1\)、\(z_2\)写成\(a + bi\)形式，计算\(z_1 + z_2\)和\(z_1^{*}+z_2^{*}\)。 - 已知\(z_1 = 2cis(\frac{\pi}{3})\)和\(z_2 = 2 + 2i\)，将\(z_1\)写成\(a + bi\)形式，\(z_2\)写成\(rcis\theta\)形式，计算\(w_1 = z_1 + z_2\)（\(a + bi\)形式）和\(w_2 = z_1z_2\)（\(rcis\theta\)形式），并在复平面上绘制\(w_1\)和\(w_2\)。 2. **复数方程求解与相关计算** - 求解方程\(z^3 = 27i\)，答案写成\(a + bi\)形式。 - 已知\(z_1 = 2e^{i(\frac{\pi}{3})}\)和\(z_2 = 3cis(\frac{n\pi}{12})\)（\(n\in Z^{+}\)），求\(n = 3\)时\(z_1z_2\)的值，并找出使\(z_1z_2\in R^{+}\)的最小\(n\)值。 - 已知\(z = -1+\sqrt{3}i\)，将其写成\(rcis\theta\)形式，求方程\(z^3 = -1+\sqrt{3}i\)的三个根（\(rcis\theta\)形式）。 - 求解方程\(Z^4 - 1 = 15\)的四个根（\(a + bi\)形式），在复平面上表示这些根，并求以这四个根为顶点的多边形面积。 - 已知\(w = 3(cos\frac{\pi}{3}-isin\frac{\pi}{3})\)和\(z = 3-\sqrt{3}i\)，将\(w\)和\(z\)写成\(rcis\theta\)形式，求\(zw\)的模和辐角，并计算\(zw\)的值。 - 已知\(z = 12 + 16i\)，验证\(4 + 2i\)和\(-4 - 2i\)是\(z\)的二次根，由此求方程\(w^2 + 4w+(1 - 4i)=0\)的两个不同根（\(a + bi\)形式）。 - 已知\(\omega_1 = 3\)和\(\omega_2 = 2 - 2i\)是三次方程\(\omega^3 + p\omega^2 + q\omega + r = 0\)的根，求第三个根\(\omega_3\)，以及\(p\)、\(q\)、\(r\)的值，并将\(\omega_1\)、\(\omega_2\)、\(\omega_3\)写成\(rcis\theta\)形式。 ### 困难难度题目（11道，共90分） 1. **复数方程根与参数关系** - 对于方程\(z^2 + pz - 2p - 1 = 0\)，已知一个根为\(z_1 = 2+\sqrt{3}i\)，求\(p\)的值；求方程有两个不同实根时\(p\)的取值范围。 - 已知\(\omega=-1 + 4i\)，证明其是方程\(z^3 + 5z^2 + 23z + 51 = 0\)的根，并求该方程的另外两个根。 2. **复数的性质与运算证明** - 已知\(z = cis\theta\)（\(z\neq1\)），证明\(Re(\frac{1 + z}{1 - z}) = 0\)。 - 已知\((z - 2)^2 = i\)，验证\(\omega_1 = 2 + e^{i\frac{\pi}{4}}\)是根，并求另一个根\(\omega_2\)（\(\omega_2 = a + e^{i\theta}\)形式），已知根\(\omega_1\)和\(\omega_2\)在复平面上对应的点为\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的距离。 - 求解方程\(z^4+(1 - 4i)z^2 - 4i = 0\)的四个根（\(a + bi\)形式）。 3. **复数的几何意义与计算** - 已知\(z_1=\frac{\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{3}i}}{3}\)和\(z_2 = 2 - 2\sqrt{3}i\)，将\(z_1\)写成\(a + bi\)形式，\(z_2\)写成\(rcis\theta\)形式，计算\(w_1=\frac{z_1}{z_2}\)的精确值和\(w_2 = z_1z_2\)（\(rcis\theta\)形式），并描述\(z_1\)和\(z_2\)的几何关系。 - 已知\(z=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}\)，求\(z^n\)的所有幂次，并求\(z^n\)在复平面上所形成形状的面积。 - 已知\(z = cos\theta + isin\theta\)，求\(zz^{*}\)的值；已知\(z_1 = r_1(cos\theta_1 + isin\theta_1)\)和\(z_2 = r_2(cos\theta_2 + isin\theta_2)\)，证明\(\vert\frac{z_1}{z_2}\vert=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\)和\(arg\frac{z_1}{z_2}=argz_1 - argz_2\)，并描述\(z_1\)除以\(z_2\)的几何意义。 - 已知方程\(z^3 + 27 = 0\)，求其三个根\(\omega_1\)、\(\omega_2\)、\(\omega_3\)（\(rcis\theta\)形式），在复平面上绘制这些根，并求以这三个根为顶点的三角形面积。 - 已知\(z_1 = a\)，\(z_2 = 3 - 2i\)是方程\(z^3 + pz^2 + qz - 26 = 0\)的根，求\(a\)、\(p\)、\(q\)的值，并将\(z_1\)、\(z_2\)、\(z_3\)写成\(re^{i\theta}\)形式。 - 已知\(f(z)=z^4 + az^3 + 6z^2 + bz + 65\)，\(z = 3 + 2i\)是方程\(f(z)=0\)的根，在复平面上表示方程\(f(z)=0\)的根。 ### 非常困难难度题目（10道，共82分） 1. **复数方程求解与几何应用** - 已知方程\(pz^3 + qz^2 + 8p^3z + 5q = 0\)的一个根为\(z_1=\frac{5}{2}\)，求\(p\)、\(q\)的值，以及另外两个根\(z_2\)、\(z_3\)（\(a + bi\)形式），并求以\(z_1\)、\(z_2\)、\(z_3\)为顶点的三角形\(ABC\)的面积。 - 已知\(z=\sqrt{3}-i\)，\(Im(\frac{z^2}{w}) = 0\)且\(\vert\frac{z^2}{w}\vert=\frac{1}{2}\vert z\vert\)，用几何推理求\(w\)的两种可能（指数形式）。 - 已知方程\(z^4 - 5az^3 + 25az^2 - 20abz + 24ab = 0\)的两个根为\(a + ai\)和\(b + bi\)，求\(a\)、\(b\)的可能值。 2. **复数定理应用与证明** - 已知\(z = 1+\sqrt{3}i\)，用棣莫弗定理求\(z^3\)的值；用数学归纳法证明\((cos\theta + isin\theta)^n = cosn\theta + isinn\theta\)（\(n\in N\)），并证明该结果对\(n\in Z\)也成立。 - 已知方程\((z + a)^5 + 1 = 0\)，已知根的乘积为\(31\)，求方程的根（\(\omega_n = b + e^{i\theta}\)形式），设\(S\)为根的和，证明\(Im(S)=0\)并求\(Re(S)\)的值，描述根在复平面上形成的几何形状。 - 已知方程组\(u^{*}+2v = 2i\)和\(iu + v^{*}=3\)（\(u\)、\(v\in C\)），求\(\frac{u}{v}\)（\(re^{i\theta}\)形式）。 - 通过将\(1+\sqrt{3}i\)和\(-1 + i\)写成\(rcis\theta\)形式（\(r>0\)，\(-\pi<\theta\leq\pi\)），证明\(tan\frac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}\)。 3. **复数的其他性质与计算** - 已知\(z = 1 + cos2\theta + isin2\theta\)，求\(z\)的模和辐角，求解\(z = 0\)在\(-\pi<\theta\leq\pi\)时的解。 - 已知\(z = e^{i\theta}\)，证明\(z + z^2 + z^3+\cdots+z^n = cos\theta + cos2\theta+\cdots+cosn\theta + i(sin\theta + sin2\theta+\cdots+sin n\theta)\)和\((2 - z)(2 - z^{*}) = 5 - 4cos\theta\)，并利用这些结果求无穷级数\(\frac{sin\theta}{2}+\frac{sin2\theta}{2^2}+\frac{sin3\theta}{2^3}+\frac{sin4\theta}{2^4}+\cdots\)的和。 - 定义复数\(Z\)的主平方根\(\sqrt{z}=x + iy\)（\(x\geq0\)，若\(x = 0\)则\(y\geq0\)），证明\(x=\sqrt{\frac{Re(z)+\sqrt{(Re(z))^2+(Im(z))^2}}{2}}\)，在\(x>0\)时推导\(y\)关于\(x\)和\(Im(z)\)的公式，并解释\(y\)与\(Im(z)\)符号关系，以及说明\(z\)满足\(x = 0\)，\(y\neq0\)；\(x\neq0\)，\(y = 0\)；\(x = 0\)，\(y = 0\)时的条件。